對於三角函數的和角公式 cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ 的證明，一般如上圖的證法。
繪一個單位圓，則 D 點座標為 (cosα,sinα)，而 C 點座標為 (cosβ,sinβ)，則 CD 線段的長度為 CD^2 = (cosα - cosβ)^2+(sinα - sinβ)^2
= 2 - 2(cosα cosβ+sinα sinβ)
另一方面，由餘弦定理也可求出 CD 線段的長度如下：
CD^2 = OC^2+OD^2 - 2OC x OD x cos (α-β)
= 1^2 + 1^2 - 2 x 1 x 1 x cos (α-β)
= 2 - 2 cos (α-β)
所以證明 cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ。
但是這種證明，除了原有的兩個角度 α , β 外，還加上單位圓這個條件，因此並非很好的證明。因此我推演出只有兩個角度 α , β 條件下的證明法。
見圖二的任意三角形，其中 A 角是 α，而 B 角為 β，角 C 的角度定為 (180-α-β) = γ。hc 是底邊 AB 上的高。現在證明第二個公式 cos(α+β)=cosα cosβ-sinα sinβ 如下：
左式：cos(α+β)=cos(180-γ)=-cosγ
= -(a^2+b^2-c^2)/2ab (餘弦定理)
右式：cosα cosβ-sinα sinβ = (c1/b x c2/a)-(hc/b x hc/a)
= (c1c2 - hc^2)/ab
因為： (c1c2 - hc^2)/ab + (a^2+b^2-c^2)/2ab
=[2c1c2-2hc^2+a^2+b^2-(c1+c2)^2]/2ab
=[(a^2-hc^2)+(b^2-hc^2)-(c1^2+c2^2)]/2ab
=(c2^2+c1^2-c1^2-c2^2)/2ab = 0
所以：(c1c2 - hc^2)/ab =- (a^2+b^2-c^2)/2ab = -cosγ
第二個公式 cos(α+β)=cosα cosβ-sinα sinβ 得證。
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