最近教到高一的指數和對數，發現一個數學問題。一般數學方程式等號的左邊如果是指數形式，而右邊也是指數形式，或者兩邊都是對數形式，都有解法。但是碰到左邊是指數，而右邊是多項式時，一般參考書和各大補習班講義、建中、麗山學校數學刊物，都是以圖形來說明解法，就是以 y= 左邊式子，繪出指數圖形，然後 y=右邊式子，繪出多項式的圖形，然後看這兩個圖形有幾個交點，就判斷會有幾個解。但是，到底如何解出解答的數值，就付之闕如。
我跟學生討論因為兩邊的函數形式不一樣，所以兩邊的解法無法混在一起解 左邊式子=右邊式子的方程式解法。除非把左邊的式子也改成右邊多項式的形式，才能解出題目，利用上學期學的多項式解法和勘根定理，大致可以解到五次方的方程式。但是混合指數和多項式形式的方程式，真的只有圖形大略知道有幾個解嗎?
例如： 2^x = x^2。目前沒有找到直接解法。我告訴學生有一條路似乎可以解出答案。我們利用無窮冪級數來取代指數的公式如下：
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + .......= x^ 2
取左邊到二次方的近似值，得到
1 + x + x^2/2! = x ^2
x^2 - 2 x -2 = 0
近似解為： x = 1 +- (3)^(1/2)
而原來方程式左邊的 2^x 與上述方程式左邊的 e^x 則有轉換公式轉換：
2^x = (e^x)^ln(2)
而 ln(2) 為一常數，似乎就有解題的方法了。不過仍然需要繼續探討更詳細的解法。不過因為高一這兩天月考，於是我們的家教班就暫停於此。下週將進行三角函數的課程。
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