VivaBuster的部落格

繼續前一篇對 指數與多項式的方程式 求解：發現

        2^X = X^2     有三個實數解，2, 4 & -0.7667附近的解。

至於是否有複數解 (X = a + bi)? 我們暫時先解

        e^X = X^2     的複數解。

令 X = a + bi 代入上式，得出：

        e^(a+bi) = (a + bi)^2

        e^a*(cos b + i sin b) = a^2 - b^2 + 2abi       左、右的實部=實部，虛部=虛部

       1)  e^a*cos b = a^2 - b^2

       2) e^a*sin b = 2ab

       1)^2 + 2)^2:

           e^(2a) = a^4 + b^4 +2(a^2)(b^2)    兩邊開方，得出

           e^a = a^2 + b^2    取左式的冪級數近似到 2 次方

           1 + a + (a^2)/2 = a^2 + b^2  合併成下式

           (1-a)^2 + 2(b^2) = 3

       這個式子在複數平面上表示一個橢圓形。我們很驚訝的發現：

           e^x = x^2  在複數平面上的解是滿足  (1-a)^2 + 2(b^2) = 3 橢圓形上

       所有點 (a , b) 形成 X = a + bi 的解。而解的數目是無限多組解???!!!

       ..........................

       還不知道 e^x = x^2 兩邊取 ln(2) 次方後：

            (e^x)^ln(2) = (x^2)^ln(2)

            2^x = (x^2)^ln(2) 解的形式為何?